Članci

1.4.4E: Sastav funkcija - Matematika


ODJELJAK 1.4. VJEŽBA

S obzirom na svaki par funkcija, izračunajte (f (g (0)) ) i (g (f (0)) ).

1. (f (x) = 4x + 8, g (x) = 7 - x ^ {2} )

2. (f (x) = 5x + 7, g (x) = 4 - 2x ^ {2} )

3. (f (x) = sqrt {x + 4}, g (x) = 12 - x ^ {3} )

4. (f (x) = dfrac {1} {x + 2}, g (x) = 4x + 3 )

Koristite tablicu vrijednosti za procjenu svakog izraza

5. (f (g (8)) )

6. (f (g (5)) )

7. (g (f (5)) )

8. (g (f (3)) )

9. (f (f (4)) )

10. (f (f (1)) )

11. (g (g (2)) )

12. (g (g (6)) )

Koristite grafikone za procjenu donjih izraza.

13. (f (g (3)) )

14. (f (g (1)) )

15. (g (f (1)) )

16. (g (f (0)) )

17. (f (f (5)) )

18. (f (f (4)) )

19. (g (g (2)) )

20. (g (g (0)) )

Za svaki par funkcija pronađite (f (g (x)) ) i (g (f (x)) ). Pojednostavite svoje odgovore.

21. (f (x) = dfrac {1} {x - 6}, g (x) = dfrac {7} {x} + 6 )

22. (f (x) = dfrac {1} {x-4}, g (x) = dfrac {2} {x} + 4 )

23. (f (x) = x ^ {2} + 1, g (x) = sqrt {x + 2} )

24. (f (x) = sqrt {x} +2, g (x) = x ^ {2} +3 )

25. (f (x) = | x |, g (x) = 5x + 1 )

26. (f (x) = sqrt [{3}] {x}, g (x) = dfrac {x + 1} {x ^ {3}} )

27. Ako su (f (x) = x ^ {4} +6 ), (g (x) = x - 6 ) i (h (x) = sqrt {x} ), pronađite (f (g (h (x))) )

28. Ako su (f (x) = x ^ {2} +1 ), (g (x) = dfrac {1} {x} ) i (h (x) = x + 3 ) , pronađi (f (g (h (x (x)))) )

29. Funkcija (D (p) ) daje broj predmeta koji će se tražiti kada je cijena (p ). Trošak proizvodnje, (C (x) ) je trošak izrade (x ) predmeta. Da biste utvrdili troškove proizvodnje kada je cijena 6 USD, napravili biste nešto od sljedećeg:

a. Procijenite (D (C (6)) )
b. Procijenite (C (D (6)) )
c. Riješiti (D (C (x)) = 6 )
d. Riješi (C (D (p)) = 6 )

20. Funkcija (A (d) ) daje razinu boli na skali od 0-10 koju doživljava pacijent s (d ) miligramima lijeka za smanjenje boli u svom sustavu. Miligrami lijeka u sustavu pacijenta nakon t minute modelira (m (t) ). Da biste odredili kada će pacijent imati razinu boli od 4, morat ćete:

a. Procijeni (A (m (4)) )
b. Procijeni (m (A (4)) )
c. Riješiti (A (m (t) = 4 )
d. Riješiti (m (A (d)) = 4 )

31. Polumjer (r ), u inčima, sfernog balona povezan je s volumenom, (V ), pomoću (r (V) = sqrt [{3}] { dfrac {3V} {4 pi}} ). Zrak se pumpa u balon, pa se volumen nakon (t ) sekundi daje (V (t) = 10 + 20t ).

a. Pronađite složenu funkciju (r (V (t)) )

b. Pronađite radijus nakon 20 sekundi

32. Broj bakterija u rashlađenom prehrambenom proizvodu daje (N (T) = 23T ^ {2} - 56T + 1 ), (3 t je vrijeme u satima.

a. Pronađite složenu funkciju (N lijevo (T lijevo (t desno) desno) )
b. Pronađite broj bakterija nakon 4 sata

33. S obzirom na (p (x) = dfrac {1} { sqrt {x}} ) i (m (x) = x ^ {2} -4 ), pronađite domenu (m ( p (x) ).

34. S obzirom na (p (x) = dfrac {1} { sqrt {x}} ) i (m (x) = 9 - x ^ {2} ), pronađite domenu (m ( p (x)) ).

35. S obzirom na (f (x) = dfrac {1} {x + 3} ) i (g (x) = dfrac {2} {x - 1} ), pronađite domenu (f (g (x)) ).

36. S obzirom na (f (x) = dfrac {x} {x + 1} ) i (g (x) = dfrac {4} {x} ), pronađite domenu (f (g (x))).

37. S obzirom na (f (x) = sqrt {x-2} ) i (g (x) = dfrac {2} {x ^ {2} -3} ), pronađite domenu ( g (f (x)) ).

38. S obzirom na (f (x) = sqrt {4-x} ) i (g (x) = dfrac {1} {x ^ {2} -2} ), pronađite domenu ( g (f (x)) ).

Pronađite funkcije (f (x) ) i (g (x) ) tako da se zadana funkcija može izraziti kao (h (x) = f (g (x)) ).

39. (h (x) = (x + 2) ^ {2} )

40. ((x) = (x-5) ^ {3} )

41. ((x) = dfrac {3} {x-5} )

42. (h (x) = dfrac {4} {(x + 2) ^ {2}} )

43. (h (x) = 3 + sqrt {x-2} )

44. (h (x) = 4 + sqrt [{3}] {x} )

45. Neka je (f (x) ) linearna funkcija, s oblikom (f (x) = ax + b ) za konstante (a ) i (b ). [UW]

a. Pokažite da je (f lijevo (f lijevo (x desno) desno) ) linearna funkcija
b. Pronađite funkciju (g (x) ) takvu da je (g lijevo (g lijevo (x desno) desno) = 6x-8 )

46. ​​Neka je (f (x) = dfrac {1} {2} x + 3 ) [UW]

a. Skicirajte grafikone (f (x) ), (f (f (x)) ), (f (f (f (x))) ) na intervalu (- 2 le x 10 )
b. Svi bi se vaši grafovi trebali presijecati u točki (6, 6). Vrijednost x = 6 naziva se fiksna točka funkcije (f (x) ) budući da je (f (6) = 6 ); to jest, 6 je fiksno - ne miče se kad je na njega primijenjen (f ). Dajte objašnjenje zašto je 6 fiksna točka za bilo koju funkciju (f (f (f (... f (x) ...))) ).
c. Linearne funkcije (osim (f (x) = x )) mogu imati najviše jednu fiksnu točku. Kvadratne funkcije mogu imati najviše dvije. Pronađite fiksne točke funkcije (g (x) = x ^ {2} -2 ).
d. Dajte kvadratnu funkciju čije su fiksne točke (x = -2 ) i (x = 3 ).

47. Automobil odlazi iz Seattla prema istoku. Brzina automobila u mph nakon (m ) minuta dana je funkcijom (C (m) = dfrac {70m ^ {2}} {10 + m ^ {2}} ). Pronađite funkciju (m = f (s) ) koja pretvara sekunde (s ) u minute (m ). Ispišite formulu za novu funkciju (C (f (s)) ); što izračunava ova funkcija?
b. Pronađite funkciju (m = g (h )) koja pretvara sate (h ) u minute (m ). Napišite formulu za novu funkciju (C (g (h)) ); što izračunava ova funkcija?
c. Pronađite funkciju (z = v (s) ) koja pretvara mph (s ) u ft / sec (z ). Zapišite formulu za novu funkciju (v (C (m) ); što izračunava ova funkcija?

Odgovor

1. (f (g (0)) = 36 ). (g (f (0)) = -57 )

3. (f (g (0)) = 4 ). (g (f (0)) = 4 )

5. 4

7. 9

11. 7

13. 0

15. 4

17. 3

19. 2

21. (f (g (x)) = dfrac {x} {7} ) (g (f (x)) = 7x - 36 )

23. (f (g (x)) = x + 3 ) (g (f (x)) = sqrt {x ^ 2 + 3} )

25. (f (g (x)) = | 5x + 1 | ) (g (f (x)) = 5 | x | + 1 )

27. (f (g (h (x))) = = ( sqrt {x} - 6) ^ 4 + 6 )

29. b

31. a. (r (V (t)) = sqrt [3] { dfrac {3 (10 + 20t)} {4 pi}} )
b. 4.609 in

33. ((0, infty) )

35. ((- infty, dfrac {1} {3}) cup ( dfrac {1} {3}, 1) cup (1, infty) )

37. ([2, 5) šalica (5, infty) )

39. (g (x) = x + 2 ), (f (x) = x ^ 2 )

41. (f (x) = dfrac {3} {x} ), (g (x) = x - 5 )

43. (f (x) = 3 + sqrt {x} ), (g (x) = x - 2 ) ili (f (x) = 3 + x ), (g ( x) = sqrt {x - 2} )

45. (f (f (x)) = a (ax + b) + b = (a ^ 2) x + (ab + b) )
b. (g (x) = sqrt {6} x - dfrac {8} { sqrt {6} + 1} ) ili (g (x) = - sqrt {6} x - dfrac {8 } {1 - sqrt {6}} )

47. (C (f (s)) = dfrac {70 ( dfrac {s} {60}) ^ 2} {10 + ( dfrac {s} {60}) ^ 2} )
b. (C (g (h)) = dfrac {70 (60h) ^ 2} {10 + (60h) ^ 2} )
c. (v (C (m)) = dfrac {5280} {3600} ( dfrac {70m ^ 2} {10 + m ^ 2}) )


Kompozitne funkcije - primjeri pojašnjenja i pojačala

U matematici je funkcija pravilo koje povezuje zadani skup ulaza sa skupom mogućih rezultata. Važna napomena o funkciji je da je svaki ulaz povezan s točno jednim izlazom.

Proces imenovanja funkcija poznat je pod nazivom notacija funkcija. Najčešće korišteni simboli oznaka funkcije uključuju: & # 8220f (x) = & # 8230 "," g (x) = & # 8230 ", & # 8220h (x) = & # 8230, & # 8221 itd.

U ovom ćemo članku naučiti što su složene funkcije i kako ih riješiti.


1.4 Sastav funkcija

Pretpostavimo da želimo izračunati koliko košta grijanje kuće određenog dana u godini. Cijena grijanja kuće ovisit će o prosječnoj dnevnoj temperaturi, a zauzvrat, prosječna dnevna temperatura ovisi o određenom danu u godini. Primijetite kako smo upravo definirali dva odnosa: trošak ovisi o temperaturi, a temperatura ovisi o danu.

Kombinirajući ove dvije veze u jednu funkciju, izveli smo sastav funkcije, što je fokus ovog odjeljka.

Kombiniranje funkcija pomoću algebarskih operacija

Sastav funkcija samo je jedan od načina kombiniranja postojećih funkcija. Drugi je način izvođenje uobičajenih algebarskih operacija nad funkcijama, poput zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. To činimo izvođenjem operacija s izlazima funkcije, definirajući rezultat kao izlaz naše nove funkcije.

Pretpostavimo da trebamo dodati dva stupca brojeva koji predstavljaju odvojene godišnje prihode supruga i žene tijekom razdoblja, a rezultat je njihov ukupni prihod kućanstva. To želimo učiniti za svaku godinu, dodajući samo prihode te godine, a zatim prikupiti sve podatke u novom stupcu. Ako je w (y) w (y) prihod supruge, a h (y) h (y) je prihod supruga u godini y, y, a želimo da T T predstavlja ukupan prihod, tada možemo definirati novu funkciju.

Ako to vrijedi za svaku godinu, onda se možemo usredotočiti na odnos između funkcija bez pozivanja na godinu i pisati

Baš kao i za ovaj zbroj dviju funkcija, možemo definirati funkcije razlike, proizvoda i omjera za bilo koji par funkcija koji imaju iste vrste ulaza (ne nužno brojeve) i također iste vrste izlaza (koji moraju biti brojevi tako da se na njih mogu primijeniti uobičajene operacije algebre, a koje također moraju imati iste jedinice ili ih nema kad zbrajamo i oduzimamo). Na taj način možemo razmišljati o dodavanju, oduzimanju, množenju i dijeljenju funkcija.


4 odgovora 4

Obično, kada su $ f colon X to Y $ i $ g colon Y to Z $ karte, njihov se sastav piše $ g circ f $, a ne $ f circ g $: na taj način pišete $ g circ f (x) = g (f (x)) $ po definiciji.

Čini se da zbunjujete kodomenu i domet. Raspon ili slika $ f $ podskup je kodomene $ Y $ koja se sastoji od elemenata $ f (x) $, za $ x u X $. Raspon nema nikakvu ulogu kad se razmatra sastav karata. Barem, kada bi karte trebale biti definirane na cijeloj domeni, kao što je slučaj kada se govori o surjektivnosti ili bijektivnosti.

Asocijativnost je gotovo očita. Ako imate drugu funkciju $ h colon Z to W $, imate, po definiciji, da $ g circ f colon X to Z $ i $ h circ g colon Y to W $. Tako se mogu uzeti u obzir i sastavi $ h circ (g circ f) qquad text qquad (h circ g) circ f $ i obje su mape $ X to W $, pa ima smisla pitati jesu li jednake. Jesu, jer za svaki $ x u X $ imamo $ h circ (g circ f) (x) = h (g circ f (x)) = h (g (f (x)) = h circ g (f (x)) = (h circ g) circ f (x). $ Ako to ne možete raščlaniti, samo postavite $ y = f (x) $, $ z = g (y) $, $ F = g circ f $ i $ G = h circ g $, tako da je $ F (x) = g (f (x)) = g (y) = z $. Tada $ h circ ( g circ f) (x) = h circ F (x) = h (F (x)) = h (z) $ i $ (h circ g) circ f (x) = G circ f ( x) = G (y) = h circ g (y) = h (g (y)) = h (z) $ pa su dva elementa ista.

Imate $ (f circ g) circ h (x) = f circ g (h (x)) = f (g (h (x)), $ i $ f circ (g circ h (x )) = f (g circ h (x)) = f (g (h (x)). $ Asocijativnost koju sada tražite slijedi.

Bilo mi je lakše zaključiti o kompoziciji koristeći sljedeće oznake i definicije.

Infiksni zapis funkcija

$ (x, y) u f leftrightarrow x space boldsymbol f space y $ i pustite $ (x, b) u f klin (b, y) u g leftrightarrow x space boldsymbol f space b space boldsymbol g space y $ tada

Definicija $ (g circ f) $

Ako su $ f, g $ funkcije, tada je $ (g circ f) $ odnos $ (x, y) in (g circ f) leftrightarrow postoji b: x space boldsymbol f space b space boldsymbol g space y $

Sastav ($ circ $) je asocijativan

Ako su $ h, g, f $ funkcije, tada je $ (h circ g) circ f = h circ (g circ f) $ Dokaz. $ (x, y) in (h circ g) circ f leftrightarrow postoji b: x space boldsymbol f space b space boldsymbol ( boldsymbol h boldsymbol circ boldsymbol g boldsymbol) razmak y $. Gdje $ b space boldsymbol ( boldsymbol h boldsymbol circ boldsymbol g boldsymbol) space y leftrightarrow (b, y) in (h circ g) leftrightarrow postoji b ': b space boldsymbol g space b ' space boldsymbol h space y. $ Tada pravilo članstva postaje $ (x, y) in (h circ g) circ f leftrightarrow postoji b, b': x space boldsymbol f space b space boldsymbol g space b ' space boldsymbol h space y $ Drugi smjer su opet dvije primjene definicije kompozicije. $ (x, y) u h circ (g circ f) leftrightarrow postoji b: x space boldsymbol ( boldsymbol g boldsymbol circ boldsymbol f boldsymbol) space b space boldsymbol h razmak y $. Ali $ x space boldsymbol ( boldsymbol g boldsymbol circ boldsymbol f boldsymbol) space b leftrightarrow (x, b) in (g circ f) leftrightarrow postoji b ': x space boldsymbol f space b ' space boldsymbol g space b $. Dakle, $ (x, y) in h circ (g circ f) leftrightarrow postoji b, b ': x space boldsymbol f space b' space boldsymbol g space b space boldsymbol h razmak y $ I tako, $ (x, y) in (h circ g) circ f leftrightarrow (x, y) in h circ (g circ f) $ Što podrazumijeva $ (h krug g) circ f = h circ (g circ f) $

Možda je JOŠ lakše (jasnije?) Razmišljati o općenitijoj konstrukciji (s velikim nadahnućem i iz definicije kategorije, izvrsnog odgovora mcg256 i korisnog Milanovog komentara)?

Relaciju R (A, B) možemo promatrati kao skup staza tako da svaka staza ima jedinstvenu početnu točku u skupu A i jedinstvenu završnu točku u skupu B.

U posebnom slučaju relacije put se određuje krajnjim točkama, ali to NIJE nužna pretpostavka.

Dakle, da bismo općenitije definirali sastav, početne podatke možemo gledati kao dvije zbirke strelica M (A, B) i M (B, C), svaka strelica u M (X, Y) ima izvor u X i cilj u Y , a trećom kolekcijom strelica M (A, B) * M (B, C) = M (A, B, C) možemo izraditi kanateniranje, možemo točno kombinirati dvije strelice ako je cilj prve izvor drugog.

Da bismo provjerili asocijativnost, s obzirom na početne podatke M (A, B) M (B, C) i M (C, D), moramo pokazati da je M (A, B, C) * M (C, D) `` = '' M (A, B) * M (B, C, D). Rizikujemo da imamo kanonski izomorfizam, a ne jednakost, pa stoga i citati oko simbola =.

Upravo isti unos potreban je za izradu tipične strelice sa svake strane prethodne jednadžbe.

Slike koje bismo mogli nacrtati za ilustraciju tipične strelice u odgovarajućim izračunima su

Dakle, ako definiramo M (A, B, C, D) kao zbirku svih dijagrama A- & gtB - & gtC --- & gtD, (tako da je cilj - & gt izvor - & gt itd.) ) tada su sve tri zbirke kanonski izomorfne.

Jesmo li pokazali da je kompozicija asocijativna?

Možda smo barem ušli u srž stvari i uspostavili precizan smisao u kojem su 3 formalno različite stvari iste.

Primamljivo je reći da su u posebnom slučaju funkcija i odnosa da su 3 formalno različite stvari potpuno iste, ali i ovdje bismo možda trebali biti oprezni, budući da se među proizvodima konačnih skupova oslanjamo na kanonske izomorfizme:

(AxB) xC je kanonski izomorfan Axu (BxC), što je pak kanonski izomorfno prikupljanju svih poredanih trojki (a, b, c) iz odgovarajućih čimbenika.

Također je primamljivo reći da u praksi ne dolazi do zabune ako je naš najveći zločin prepletanje kanonski izomorfnih stvari.

Međutim, vektor (a, b, c) podsjeća me na navodni dokaz VRLO poznate pretpostavke u teoriji brojeva, koja je prema mom izuzetno pješačkom shvaćanju mišljenja stručnjaka možda problematična, dijelom zbog povezanosti: stvari nasuprot stvari do izomorfizma ili možda izomorfne kopije stvari.

Pokušaj sažetka radnog mjesta: Izomorfizam kandidata iz tipova (xy)z i x(godz) je zapravo izomorfizam, što daje smisao u kojem xgz je jednoznačan.

Nezadovoljan sam objavom. Očito je da je sastav funkcije / (mora biti) asocijativan, ali pokušaji skromne generalizacije ostavljaju me da ispitujem gdje bi, ako i igdje, moglo biti malo spretnosti.

Bilo bi zabavno voditi dugu promišljenu raspravu koja bi dovela do sporazuma da su uistinu sva pitanja trivijalno očita, očito trivijalna i da nigdje uopće nije bilo pametnih ruku.


Vježba 1.5: Sastav funkcija

(iii) f (x) = g ( x ) = 3 – x

(iv) f (x) = 3 + x, g(x) = x – 4

(v) f (x) = 4x 2 − 1, g(x) = 1 + x



2. Pronađite vrijednost k, takav da f o g = g o f

(i) f (x) = 3x + 2, g(x) = 6xk

(ii) f (x) = 2xk, g(x) = 4x + 5


3. Ako f (x) = 2x − 1, g(x) = [x+1] / 2 to pokazuju f o g = g o f = x


4. (i) Ako f (x) = x 2 − 1, g(x) = x - 2 nalaz a, ako g o f (a) = 1.

(ii) Pronađi k, ako f (k) = 2k - 1 i f o f (k) = 5 .


5. Neka A, B,C ⊆ N i funkcija f : AB biti definiran pomoću f (x) = 2x + 1 i g : BC biti definiran pomoću g(x) = x 2. Pronađite raspon f o g i g o f .


6. Neka f (x) = x 2 - 1 Pronađi (i) f o f (ii) f o f o f


7. Ako f : R → R i g : R → R su definirani s f (x) = x 5 i g(x) = x 4, a zatim provjerite je li f, g su jedan-jedan i f o g je jedan-jedan?


8. Razmotrite funkcije f (x), g(x), h(x) kako je navedeno u nastavku. Pokaži to

(f o g) o h = f o (g o h) u svakom slučaju.

(i) f (x) = x − 1, g(x) = 3x + 1 i h(x) = x 2

(ii) f (x) = x 2 , g(x) = 2x i h(x) = x + 4

(iii) f (x) = x − 4, g(x) = x 2 i h(x) = 3x – 5


9. Neka f = <(- 1, 3), (0, −1), (2, −9)> je linearna funkcija od Z do Z. Pronaći f (x).


10. U teoriji električnih krugova, sklop C(t) naziva se linearnim krugom ako zadovoljava princip superpozicije dani s C (na 1 + bt 2 ) = aC (t 1 ) + prije Krista(t 2), gdje a,b su konstante. Pokažite da je sklop C (t) = 3t je linearna.


DMCA žalba

Ako smatrate da sadržaj dostupan putem web mjesta (kako je definirano u našim Uvjetima pružanja usluge) krši jedno ili više vaših autorskih prava, obavijestite nas davanjem pismene obavijesti („Obavijest o kršenju prava“) koja sadrži dolje opisane podatke navedenom agent naveden u nastavku. Ako Varsity Tutors poduzme mjere kao odgovor na Obavijest o kršenju prava, pokušat će u dobroj vjeri kontaktirati stranku koja je takav sadržaj učinila dostupnim putem najnovije adrese e-pošte, ako postoji, koju je ta stranka dostavila Varsity Tutorima.

Vaša se obavijest o kršenju prava može proslijediti stranci koja je sadržaj učinila dostupnim ili trećim stranama poput ChillingEffects.org.

Imajte na umu da ćete biti odgovorni za štetu (uključujući troškove i odvjetničke troškove) ako materijalno lažno prikažete da proizvod ili aktivnost krši vaša autorska prava. Stoga, ako niste sigurni da sadržaj koji se nalazi na web mjestu ili ga na njega povezuje krši vaša autorska prava, prvo biste trebali razmotriti kontaktiranje odvjetnika.

Slijedite ove korake za podnošenje obavijesti:

Morate uključiti sljedeće:

Fizički ili elektronički potpis vlasnika autorskih prava ili osobe ovlaštene da djeluje u njihovo ime Identifikacija autorskih prava za koja se tvrdi da su povrijeđena Opis prirode i točnog mjesta sadržaja za koji tvrdite da krši vaša autorska prava nije dovoljno pojedinosti kako bi Varsity Tutori mogli pronaći i pozitivno identificirati taj sadržaj, na primjer, potrebna nam je veza do određenog pitanja (ne samo naziva pitanja) koja sadrži sadržaj i opis određenog dijela pitanja - slika, veza, tekst itd. - vaša žalba odnosi se na vaše ime, adresu, telefonski broj i adresu e-pošte i vašu izjavu: (a) da vjerujete u dobroj vjeri da je korištenje sadržaja za koji tvrdite da krši vaša autorska prava niste autorizirani zakonom, niti vlasnikom autorskih prava ili agentom takvog vlasnika (b) da su svi podaci sadržani u vašoj Obavijesti o kršenju prava točni i (c) pod kaznom krivokletstva da ste ili vi vlasnik autorskih prava ili osoba ovlaštena za djelovanje u njihovo ime.

Pošaljite svoju žalbu našem ovlaštenom agentu na:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105


Opće pravilo o sastavu funkcije

Pretpostavimo da su dvije zadane funkcije f i g, sastav f circ g definiran je s

Također, sastav g circ f definiran je s

Nekoliko bilješki o simboličkoj & # 8220formuli & # 8221 gore:

  • Redoslijed u sastavu funkcije je važan! Uvijek sastavljate funkcije zdesna nalijevo. Stoga je, s obzirom na funkciju, njezin ulaz uvijek onaj s desne strane. Drugim riječima, desna funkcija ulazi unutar lijeve funkcije.

  • Obavijest u f circ g = f lijevo [ desno], ulazna ili & # 8220unutrašnja funkcija & # 8221 je funkcija g jer je desno od funkcije f koja je glavna ili & # 8220unutnja funkcija & # 8221.
  • Što se tiče redoslijeda sastava, vidite li isti uzorak u g circ f = g left [ zar ne? To je točno # 8217! Funkcija f je unutarnja funkcija vanjske funkcije g.

Pređimo na nekoliko primjera kako bismo vidjeli kako funkcionira sastav funkcije. Kasnije ćete shvatiti da je to jednostavno vježba algebarske supstitucije i pojednostavljenja.

Primjeri kako sastaviti funkcije

Primjer 1: Izvršite naznačeni sastav funkcije:

Redoslijed sastava je važan. Primijetite da u f circ g želimo da funkcija g lijevo (x desno) bude ulaz glavne funkcije .

Počinjem zapisujući glavnu ili vanjsku funkciju f lijevo (x desno), a u svakom slučaju x zamijenit ću punu vrijednost g lijevo (x desno).

Zatim ću učiniti sve što je potrebno da pojednostavim izraze kao što je kvadrat binoma, primjena distributivnog svojstva i kombiniranje sličnih pojmova. Osim toga, tu zapravo nema ništa posebno.

Dopustite mi da vam pokažem što sam time htio reći.

Primjer 2: Izvršite naznačeni sastav funkcije:

Moram pronaći kompozitnu funkciju g circ f što znači da je funkcija f ulaz funkcije g.

Primjer 3: Izvršite naznačeni sastav funkcije:

Ovo je primjer sastava funkcije gdje je ulaz a funkcija kvadratnog korijena. Pogledajmo kako to funkcionira.

Opet, u f circ g želimo g funkciju g spojiti u funkciju f.

Primjer 4: Izvršite naznačeni sastav funkcije:

Ovaj je sastav funkcije prilično zanimljiv. Nadam se da možete vidjeti da ćemo imati situaciju da funkcija kvadratnog korijena ulazi u drugu funkciju kvadratnog korijena.

Ključ za pravilno sastavljanje ove funkcije je prepoznati da se simbol kvadratnog korijena može izraziti kao eksponencijalni izraz s razlomljenim eksponentom jednakim .

Primjer 5: Izvršite naznačeni sastav funkcije:

Do sada smo u prethodnim primjerima izvodili sastave funkcija koristeći dvije različite funkcije. Međutim, moguće je i sastaviti funkciju sa sobom.

Primjer 6: Izvršite naznačeni sastav funkcije:

Razradimo primjer primjera sastava funkcije koji se bavi racionalnim funkcijama. Uključena algebra pomalo je zamorna, međutim, trebali biste biti u redu sve dok pažljivo pojednostavljujete izraze u svakom koraku.

U ovom ćete primjeru primijeniti postupke za dodavanje ili oduzimanje racionalnih izraza, kao i za umnožavanje racionalnih izraza.

Primjer 7: Izvršite naznačeni sastav funkcije:

Ako mislite da je naš posljednji primjer racionalnog sastava funkcija bio neuredan, pričekajte da vidite sljedeći primjer. Može biti malo neurednije, ali i dalje vrlo upravljivo. Zato se ne brinite! Uvijek se fokusirajte na & # 8220laser & # 8221 u svakom postupku pojednostavljenja kako biste to uspješno riješili ispravno.

Ulazna funkcija f bit će zamijenjena u svaki x glavne funkcije g.

Za više prakse predlažem da pokušate obrnuti redoslijed sastava funkcije. Drugim riječima, pronađite f circ g.

Ako je to slučaj u kojem je g circ f = f circ g = x, tada zaključujemo da su funkcije g i f međusobne inverze. Imam zaseban vodič o tome kako dokazati ili provjeriti jesu li dvije funkcije međusobno obrnute.

Primjer 8: Pronađite složenu funkciju:

U ovom ćemo primjeru sastaviti tri funkcije. Promatrajući zapis željene složene funkcije f circ g circ h, razradit ćemo to iz s desna na lijevo.

Prvo moram spojiti funkciju h u funkciju g, a zatim pojednostaviti da bih dobio novu funkciju.

Izlaz iz prethodnog koraka bit će dalje zamijenjen glavnom funkcijom f da bi se dobio konačni odgovor. Simbolično izgleda ovako & # 8230

Počet ću pronalaženjem sastava g circ h = g lijevo (h desno).

Rezultat g lijevo (h desno) = < Veliko <+ 1 >>>> postaje ulaz funkcije f


Koračni vodič za rješavanje Sastava funkcija

  • Pojam & # 8220sastav funkcija & # 8221 jednostavno je kombinacija dviju ili više funkcija gdje izlaz iz jedne funkcije postaje ulaz za sljedeću funkciju.
  • Oznaka koja se koristi za kompoziciju je: ( boja<(f o g) (x) = f (g (x))> )

Sastav funkcija & # 8211 Primjer 1:

Koristeći (f (x) = x-2 ) i (g (x) = x ), pronađite: (f (g (2)) )

((f o g) (x) = f (g (x)) )
Tada je: ((f o g) (x) = f (g (x)) = f (x) = x-2 )
Zamijeni (x ) sa (2: (f o g) (2) = 2-2 = 0 )

Sastav funkcija & # 8211 Primjer 2:

Koristeći (f (x) = x + 8 ) i (g (x) = x-2 ), pronađite: (g (f (4)) )

((f o g) (x) = f (g (x)) )
Tada: ((g o f) (x) = g (f (x)) = g (x + 8) ), sada (x ) u (f (x) ) zamijeni (x + 8 ). Tada: (g (x + 8) = (x + 8) -2 = x + 8-2 = x + 6 )
Zamijeni (x ) sa (4: (g o f) (4) = g (f (x)) = 4 + 6 = 10 )

Sastav funkcija & # 8211 Primjer 3:

Koristeći (f (x) = x + 2 ) i (g (x) = 4x ), pronađite: (f (g (1)) )

((f o g) (x) = f (g (x)) )
Tada je: ((f o g) (x) = f (g (x)) = f (4x) = 4x + 2 )
Zamijeni (x ) sa (1: (f o g) (1) = 4 + 2 = 6 )

Sastav funkcija & # 8211 Primjer 4:

Koristeći (f (x) = 5x + 4 ) i (g (x) = x-3 ), pronađite: (g (f (3)) )

((f o g) (x) = f (g (x)) )
Tada: ((f o g) (x) = g (f (x)) = g (5x + 4) ), sada zamijenite (x ) u (g (x) ) s (5x + 4 ). Tada: (g (5x + 4) = (5x + 4) -3 = 5x + 4-3 = 5x + 1 )
Zamijeniti (x ) s (3: (g o f) (x) = g (f (x)) = 5x + 1 = 5 (3) + 1 = 15 = 1 = 16 )


Kada radimo s funkcijama datim u tablicama, čitamo ulazne i izlazne vrijednosti iz unosa tablice i uvijek radimo iznutra prema van. Prvo procjenjujemo unutarnju funkciju, a zatim koristimo izlaz unutarnje funkcije kao ulaz u vanjsku funkciju.

Primjer 5: Korištenje tablice za procjenu složene funkcije

Koristeći donju tablicu, procijenite [lateks] f lijevo (g lijevo (3 desno) desno) [/ lateks] i [lateks] g lijevo (f lijevo (3 desno) desno) [/ lateks ].

[lateks] x [/ lateks] [lateks] f lijevo (x desno) [/ lateks] [lateks] g lijevo (x desno) [/ lateks]
1 6 3
2 8 5
3 3 2
4 1 7

Da bismo procijenili [lateks] f lijevo (g lijevo (3 desno) desno) [/ lateks], krećemo iznutra s ulaznom vrijednošću 3. Zatim procjenjujemo unutarnji izraz [lateks] g lijevo (3 desno) [/ lateks] pomoću tablice koja definira funkciju [lateks] g: [/ lateks] [lateks] g lijevo (3 desno) = 2 [/ lateks]. Tada taj rezultat možemo koristiti kao ulaz u funkciju [lateks] f [/ lateks], pa se [lateks] g lijevo (3 desno) [/ lateks] zamjenjuje s 2 i dobivamo [lateks] f lijevo (2 desno) [/ lateks]. Zatim, pomoću tablice koja definira funkciju [lateks] f [/ lateks], nalazimo da je [lateks] f lijevo (2 desno) = 8 [/ lateks].

Da bismo procijenili [lateks] g lijevo (f lijevo (3 desno) desno) [/ lateks], prvo procijenimo unutarnji izraz [lateks] f lijevo (3 desno) [/ lateks] pomoću prve tablice : [lateks] f lijevo (3 desno) = 3 [/ lateks]. Zatim, pomoću tablice za [lateks] g [/ lateks] možemo procijeniti

Tablica u nastavku prikazuje složene funkcije [lateks] f circ g [/ latex] i [latex] g circ f [/ latex] kao tablice.

[lateks] x [/ lateks] [lateks] g lijevo (x desno) [/ lateks] [lateks] f lijevo (g lijevo (x desno) desno) [/ lateks] [lateks] f lijevo (x desno) [/ lateks] [lateks] g lijevo (f lijevo (x desno) desno) [/ lateks]
3 2 8 3 2

Probaj

Koristeći donju tablicu, procijenite [lateks] f lijevo (g lijevo (1 desno) desno) [/ lateks] i [lateks] g lijevo (f lijevo (4 desno) desno) [/ lateks ].

[lateks] x [/ lateks] [lateks] f lijevo (x desno) [/ lateks] [lateks] g lijevo (x desno) [/ lateks]
1 6 3
2 8 5
3 3 2
4 1 7

[lateks] f lijevo (g lijevo (1 desno) desno) = f lijevo (3 desno) = 3 [/ lateks] i [lateks] g lijevo (f lijevo (4 desno) desno) = g lijevo (1 desno) = 3 [/ lateks]

Isprobajte 4


1.4.4E: Sastav funkcija - Matematika

Uskoro ćete izbriši svoj rad na ovoj aktivnosti. Jeste li sigurni da to želite učiniti?

Dostupna ažurirana verzija

Postoji ažurirana verzija ove aktivnosti. Ako ažurirate na najnoviju verziju ove aktivnosti, tada će se izbrisati vaš trenutni napredak u ovoj aktivnosti. Bez obzira na to, vaša evidencija završetka će ostati. Kako želite dalje?

Uređivač matematičkih izraza

Raspravljamo o sastavima funkcija.

Sastav funkcija može se smatrati stavljanjem jedne funkcije u drugu. Koristimo notaciju

Pronađite i navedite njegovu domenu.

Pokušajmo sada s primjerom s ograničenijom domenom.

Pronađite i navedite njegovu domenu.

To znači da je domena is. Dalje, zamjenjujemo svaku instancu pronađene u i tako

Rezultate možemo sažeti kao dijelnu funkciju koja izgleda donekle zanimljivo:

Pronađite i navedite njegovu domenu.

Usporedite i uporedite prethodna dva primjera. Koristili smo iste funkcije za svaki primjer, ali smo ih sastavili na različite načine. Rezultirajući sastavi nisu samo različiti, oni imaju različite domene!


Riješeni problemi

Kliknite ili dodirnite problem da biste vidjeli rješenje.

Primjer 1

Primjer 2

Primjer 3

Primjer 4

Primjer 5

Primjer 6

Primjer 1.

Nacrtajte dijagram strelice za sastav funkcija (f circ g: )

Iz dijagrama proizlazi:

Stoga je složena funkcija (f circ g ) dana sa

[f circ g = lijevo << lijevo (<5,1> desno), lijevo (<7,7> desno), lijevo (<9,1> desno), lijevo (<2,1> desno)> desno >. ]

Domena (f circ g ) je skup ( lijevo <<5,7,9,2> desno >, ), a raspon je skup ( lijevo <<7 , 1> desno >. )

Primjer 2.

Po definiciji, ( lijevo ( desno) lijevo (x desno) = f lijevo ( pravo).)

Unutarnja funkcija () definiran je za sve (x ) osim (x = large < frac <5> <4>> normalsize. ) Dakle, točka (x = large < frac <5> < 4 >> normalsize ) mora biti izuzeta iz domene kompozicije (f circ g. )

Vanjska funkcija () definiran je za sve (x ) osim (x = large < frac <4> <3>> normalsize. ) Dakle, također trebamo izuzeti one vrijednosti (x ) za koje unutarnja funkcija () jednako je ( large < frac <4> <3>> normalsize. ) Odredite ove vrijednosti.

Dakle, domena (f circ g ) sastoji se od svih stvarnih vrijednosti (x ) osim točaka (x = large < frac <5> <4>> normalsize, large < frac <29> <16>> normalsize. ) To se može zapisati u obrazac

Primjer 3.

  1. Složena funkcija ( lijevo (f kružnica g desno) lijevo (x desno) ) zapisuje se kao (f lijevo ( desno). ) Uzimamo vanjsku funkciju (f lijevo (x desno) ) i zamjenjujemo unutarnju funkciju () za (x: ) [< lijevo (f circ g desno) lijevo (x desno) = f lijevo ( desno)> = < lijevo (x desno) + 2g lijevo (x desno)> = << lijevo (<& # 8211 x> desno) ^ 2> + 2 lijevo (<& # 8211 x> desno)> = < boja& # 8211 boja<2> + boja+ boja<2> - boja<2x>> = < boja-oja<2> + boja<3> & # 8211 boja<2x>.> ]
  2. Izračunajte sastav (g circ f: ) [< lijevo (g circ f desno) lijevo (x desno) = g lijevo ( desno)> = < lijevo (x desno) & # 8211 f lijevo (x desno) = < lijevo (<+ 2x> desno) ^ 2> & # 8211 lijevo (<+ 2x> desno)> = < boja+ boja<4> + boja<4> & # 8211 boja& # 8211 boja<2x>> = < boja+ boja<4> + boja<3> & # 8211 boja<2x>.> ] Primijetite da (f circ g ne g circ f, ) koji je sastav funkcija nije komutativan.
  3. Sastav funkcija (f circ f ) dan je s [< lijevo (f circ f desno) lijevo (x desno) = f lijevo ( desno)> = < lijevo (x desno) + 2f lijevo (x desno)> = << lijevo (<+ 2x> desno) ^ 2> + 2 lijevo (<+ 2x> desno)> = < boja+ boja<4> + boja<4> + boja<2> + boja<4x>> = < boja+ boja<4> + boja<6> + boja<4x>.> ]
  4. Slično određujemo funkciju (g circ g: ) [ require< lijevo (g circ g desno) lijevo (x desno) = g lijevo ( desno)> = < lijevo (x desno) & # 8211 g lijevo (x desno)> = << lijevo (<& # 8211 x> desno) ^ 2> & # 8211 lijevo (<& # 8211 x> desno)> = < boja& # 8211 boja<2> + poništi < boja> & # 8211 poništi < boja> + boja> = < boja& # 8211 boja<2> + boja.>]

Primjer 4.

  1. Pronađi složenu funkciju (f circ g circ f, ) prvo određujemo sastav unutarnjih funkcija (g circ f: ) [< lijevo (g circ f desno) lijevo ( x desno) = g lijevo ( desno)> = + 1> desno)> = < sqrt <+ 1>.> ] Zatim se, pomoću asocijativnog zakona, trostruki sastav daje [< lijevo (f circ g circ f desno) lijevo (x desno) = lijevo (f circ lijevo( desno) desno) lijevo (x desno) = f lijevo [ desno)> desno]> = + 1>> desno)> = << lijevo (< sqrt <+ 1>> desno) ^ 2> + 1> = < + 1 + 1 >= < + 2.>]
  2. Ovdje prvo nalazimo sastav (f circ g: ) [< lijevo (f circ g desno) lijevo (x desno) = f lijevo ( desno)> = desno)> = << lijevo (< sqrt x> desno) ^ 2> + 1> = ] Dakle, [< lijevo (g circ f circ g desno) lijevo (x desno) = lijevo (g circ lijevo ( desno) desno) lijevo (x desno)> = desno)> desno]> = desno)> = < sqrt .>]
  3. Izračunajte sastav funkcija (g circ f circ f ) koristeći isti pristup. Budući da je [< lijevo (f circ f desno) lijevo (x desno) = f lijevo ( desno)> = + 1> desno)> = << lijevo (<+ 1> desno) ^ 2> + 1> = < + 2 + 1 + 1 >= < + 2 + 2,> ] trostruki sastav (g circ f circ f ) dat je s [< lijevo (g circ f circ f desno) lijevo (x desno) = lijevo ( g circ lijevo ( desno) desno) lijevo (x desno)> = desno)> desno]> = + 2 + 2> desno)> = < sqrt <+ 2 + 2> .>]

Primjer 5.

Pronađi inverznu funkciju (f ^ <-1> ) rješavajući jednadžbu (y = sqrt <+ 1> ) za (x: )

Za izračun sastava funkcija (f ^ <-1> circ f, ) zamjenjujemo (y = sqrt <+ 1> ) u jednadžbi (x = sqrt [3] <<& # 8211 1 >>. ) Za bilo koji (x ) u domeni (f, ) koji imamo

Tako, (> circ f = I,) where (I) is the identity function in the domain of (f.)


Gledaj video: Linearne funkcije - TUTORIJAL - 1. deo - Matematika za 8. razred (Prosinac 2021).